Wir haben jetzt eingeführt, was Ähnlichkeit und Äquivalenz ist. Und wir wissen, wenn zwei

Matrizen ähnlich sind, so besitzen sie das gleiche charakteristische Polynom und damit auch die

gleichen Eigenwerte. Und der besonders interessante Fall, auf den wir heute zu sprechen kommen möchten

und warum das Kapitel diagonalisierbarkeit heißt, ist, wenn eine Matrix ähnlich zu einer

Diagonalmatrix ist. Denn das ist für uns als Mathematiker der schönste Fall, denn diese

Diagonalmatrix hat die besten Eigenschaften. Sie ist sehr dünn besetzt. Es gibt nur wenige

Einträge, die für uns relevant sind. Die stehen alle auf der Hauptdiagonalen. Wir können den

Rang direkt ablesen und die Eigenwerte. Genau, das heißt, wir möchten jetzt erstmal im Folgenden

definieren, was für uns diagonalisierbarkeit eigentlich bedeutet. Also folgende Definition.

Diagonalisierbarkeit. Wir werden das Ganze für Endomorphismen und Matrizen explizit definieren,

denn dort ist die Definition leicht unterschiedlich, aber wir werden in einem

Satz, der darauf folgt, sehen, dass es äquivalente Aussagen sind und wir von daher beides benutzen

können. Das heißt, wir definieren zuerst mal diagonalisierbarkeit für ein Endomorphismus.

Ein Endomorphismus f von v nach v heißt diagonalisierbar. Genau dann, wenn unser

Vektorraum v eine Basis aus Eigenvektoren besitzt. Eigenvektoren von f besitzt. Und wir haben im

letzten Video schon gesehen, dass die Eigenvektoren von paarweise verschiedenen Eigenwerten linier

unabhängig sind. Das heißt, das sind für uns schon mal gute Kandidaten, um solch eine Basis

zu bilden. Und wenn wir es wirklich schaffen, genug solcher Eigenvektoren anzusammeln, dann

können wir daraus eine Basis des gesamten Vektorraums bilden und dann nennen wir den

Endomorphismus diagonalisierbar. Wir werden auch gleich noch ein bisschen sehen, warum das mit

diagonalisierbarkeit zusammenhängt. Als nächstes wollen wir definieren, was diagonalisierbar für

eine Matrix heißt. Also eine Matrix A nennen wir sie mal. Aus K n Kreuz n heißt ebenfalls

diagonalisierbar, falls sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist. Relativ selbsterklärend.

Das heißt, hier nutzen wir einfach die Definition der Ähnlichkeit. Das heißt, ich muss eine Matrix

S finden, sodass die Transformation unter S mir eine Diagonalform liefert. Ich schreibe es

nochmal explizit dahinter. Das heißt, es existiert S aus G L von N über K, sodass wir schreiben

können D, das ist eine Diagonalmatrix, ist gerade gleich S A S invers. Wenn wir solch

eine Transformation finden, dann nennen wir A diagonalisierbar. Gut, jetzt wissen wir,

was diagonalisierbarkeit heißt. Konkret die Frage, die wir uns stellen ist, wir haben jetzt eine

Matrix gegeben mit Einträgen, die ist nicht dünn besetzt, sondern von mir aus beliebig,

oder wir haben ein Endomorphismus gegeben, dessen Wirkung wir auf gewissen Vektoren kennen. Wie

können wir jetzt entscheiden, ist dieser Endomorphismus, ist diese Matrix eigentlich

diagonalisierbar? Denn darüber können wir dann später sehen, können wir die schönen

Eigenschaften ablesen. Das heißt, uns interessiert, gibt es ein Kriterium, um diagonalisierbarkeit

festzustellen. Dazu wollen wir folgenden Satz einführen und auch beweisen. Machen jetzt einen

Satz zur diagonalisierbarkeit, dass uns genau solche Kriterien liefert. Ich bin schon nicht

mehr ganz bei der Sache. Und wir werden den Satz erst formulieren, das heißt, sei hier

wieder f von v nach v, ein Endomorphismus, wie immer. Und dann können wir folgende Aussagen

treffen, das ist jetzt wichtig. Dann sind folgende Aussagen, das möchte ich in rot schreiben,

beim Äquivalent. Es ist nicht nur eine Folgerung, sondern die sind alle wirklich äquivalent.

Die erste Aussage ist, das ist das, was wir entscheiden möchten, f ist diagonalisierbar.

Die zweite Aussage ist, das charakteristische Polynom, und das ist eigentlich das, was wir

in der Anwendung am häufigsten anwenden, das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren

über k. Das heißt, ich muss es schreiben können als ein Produkt von einfachen Differenzen.

Wenn ich das schaffe, dann weiß ich, okay, das Ganze zerfällt in Linearfaktoren über

diesen Körper, das muss nicht immer so sein, gerade in realen Zahlen, da können wir Probleme

kriegen. Und ganz wichtig, das ist jetzt die Zusatzbedingungen, die dürfen nicht vergessen,

und die algebraischen Vielfachheiten, das waren gerade die Häufigkeiten der Nullstellen

des Polynoms, der Eigenwerte, sind gleich, Sie können sich schon denken, der geometrischen

Vielfachheiten, das war die Dimension der Eigenräume, sind gleich den geometrischen